Bài đa thức "biếu điểm" trong đề Hà Nội TST 2024 - 2025

Trong ngày thi thứ hai của kì thi chọn đội tuyển HSG TP tham gia kì thi HSG QG cấp THPT của Hà Nội (Hà Nội TST) có bài toán đa thức chiếm 7,0 điểm ở vị trí số 6.

Xét theo thứ tự bài toán thì đây phải là bài toán khá khó, thế nhưng điều bất ngờ đã xảy ra khi bài toán lại quá tầm thường, gần như là biếu điểm cho thí sinh. Mời các bạn đọc cùng theo dõi bài toán ở dưới đây

Bài 6. (7,0 điểm)

Cho $A(x)$ là một đa thức với hệ số thực. Chứng minh tồn tại hai đa thức $B(x)$ và $C(x)$ với hệ số thực sao cho $B(C(x))+C(B(x))=A(x).$

Lời giải.
Chọn $B(x)=x,$ $C(x)=\frac{1}{2}A(x),$ khi đó $$B(C(x))+C(B(x))=C(x)+C(x)=A(x).$$Như vậy, tồn tại $B(x)=x$ và $C(x)=\frac{1}{2}A(x)$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Nhận xét.
Bài toán sẽ khó và thú vị hơn nếu thay đổi giả thiết trở thành $$B(C(x))-C(B(x))=A(x).$$