Đề thi chuyên Sư Phạm TST 2024 - 2025
Ngày thi thứ nhất: 16/09/2024
Bài 1. Với mỗi số nguyên dương $n,$ xét đa thức $$P_n(x)=x^{2n+1}-\left(1+\frac{1}{n}\right)x^{2n}-\left(1+\frac{1}{n}\right)x+1$$a) Tìm nghiệm thực nhỏ nhất của đa thức $P_{2024}(x).$
b) Với mỗi số nguyên dương $n,$ gọi $a_n$ là nghiệm thực lớn nhất của đa thức $P_n(x).$ Tính giới hạn $\lim\limits_{n\to +\infty}a_n.$
Bài 2. Cho đường tròn $(O)$ với dây cung $AB$ không đi qua tâm. Lấy $C$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B.$ Các tiếp tuyến của đường tròn tại $A$ và $B$ cắt nhau tại $M.$ Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCM$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $D$ và cắt đường thẳng $OM$ tại điểm $E$ ($D\ne B,$ $E \ne M$). Gọi $H$ là giao điểm của $DE$ và $AB$ và $G$ là giao điểm của $CE$ với $BM.$ Chứng minh các đường thẳng $DM,$ $GH$ cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn $(O).$
Bài 3. Cho hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn $$f(x^2+2y) \ge f(x^2+3y),\ \forall x, y \in \mathbb{R}$$Chứng minh rằng $f(x)=f(1)$ với mọi $x>0.$
Bài 4. Với mỗi số nguyên dương $n,$ ta đặt $$f(n)=d_1^2+d_2^2+\cdots+d_k^2$$trong đó $d_1<d_2<\cdots<d_k$ là tất cả các ước số nguyên dương của $n.$
a) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $f(n)=n^2+n+1.$
b) Tìm tất cả các đa thức hệ số nguyên $P(x)$ sao cho $f(n) \mid P(n)$ với mọi số nguyên dương $n.$
Ngày thi thứ hai: 17/09/2024
Bài 5. Cho $n$ là một số nguyên dương thỏa mãn tồn tại các số thực $a_1, a_2,\ldots, a_n$ sao cho với bất kể $k$ thuộc $\{0,1,2,\ldots,n-1\}$ ta có $$\frac{a_1}{k+1}+\frac{a_2}{k+2}+\ldots+\frac{a_n}{k+n}=1$$Chứng minh rằng $a_1+a_2+\cdots+a_n=n^2.$
Bài 6. Cho đa thức $P(x)$ hệ số nguyên thỏa mãn $0<P(0)<10^8$ và các phương trình $$P(x)=x,\ P(x)=2x,\ldots, P(x)=25x$$Chứng minh các phương trình trên không đồng thời có nghiệm nguyên.
Bài 7. Cho trước một số nguyên dương $n$ và một bảng hình chữ nhật $3\times k$ ($k$ cột, $3$ hàng) và thỏa mãn
i) Tổng các số mỗi cột là $n.$
ii) Các số từ $0, 1,\ldots, n$ đều xuất hiện ít nhất một lần trong mỗi hàng.
Tìm giá trị nhỏ nhất của $k.$
Bài 8. Cho tam giác $ABC$ và $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh $A,$ kẻ $JD$ vuông góc với $BC.$ Gọi $(\omega)$ là đường tròn đường kính $JD.$ Đường tròn $(\omega)$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $M, N.$ Tiếp tuyến tại $M, N$ của $(\omega)$ cắt nhau tại $P.$ Chứng minh rằng ba điểm $A, P, D$ thẳng hàng.
