Đề thi Hà Nội TST 2024 - 2025
Ngày thứ nhất: 11/10/2024
Cho dãy số $(u_n)_{n \ge 1}$ xác định bởi \[u_1=\frac{1}{2},\quad u_{n+1}=\frac{u_n}{2+\sqrt{4u_n^2+3}},\ \forall n \in \mathbb{N}^*\]Chứng minh dãy số $(\sqrt[n]{u_n})_{n \ge 2}$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
Bài 2 (5,0 điểm)
Tìm tất cả cặp số nguyên tố $(p, q)$ sao cho tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa mãn $n^{|p-q|}+1$ chia hết cho $pq.$
Bài 3 (6,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB<AC)$ có đường cao $AD.$ Gọi $E$ là một điểm trên cạnh $AB$ ($E$ khác $A$ và $B$). Đường thẳng $CE$ cắt đường thẳng $AD$ tại điểm $M.$ Gọi $X$ là một điểm thay đổi trên tia đối của tia $ED$ và $Y$ là điểm đối xứng với $X$ qua đường thẳng $AD.$
a) Chứng minh ba đường thẳng $AC,$ $BM$ và $DY$ cùng đi qua một điểm.
b) Gọi $P$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDX$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDY.$ Chứng minh $P$ nằm trên một đường thẳng cố định.
Bài 4 (4,0 điểm)
Cho tập hợp $A=\{1,2,3,4,5,6\}.$ Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có $100$ chữ số được thành lập từ các chữ số thuộc tập hợp $A,$ sao cho trong mỗi số thuộc $S$ hai chữ số kề nhau bất kì là hai số tự nhiên liên tiếp. Tìm số dư khi chia số phần tử của $S$ cho $4.$
Ngày thứ hai: 12/10/2024
Xét hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn $$f(x^4-y-4f(y))=(f(x))^4-5y,\ \forall x, y \in \mathbb{R}$$a) Chứng minh $\forall x\in \mathbb{R},\ f(x)=0 \Leftrightarrow x=0.$
b) Chứng minh $f(x)=x$ với mọi số thực $x.$
Bài 6 (7,0 điểm)
Cho $A(x)$ là một đa thức với hệ số thực. Chứng minh tồn tại hai đa thức $B(x)$ và $C(x)$ với hệ số thực sao cho $B(C(x))+C(B(x))=A(x).$
Bài 7 (7,0 điểm)
Cho số nguyên $n>5$ và tập hợp $$S=\{2n^2-n+1,2n^2-n+2,\ldots,2n^2+2n\}$$ gồm $3n$ số nguyên liên tiếp. Chứng minh với hai số nguyên phân biệt $a$ và $b$ bất kì thuộc khoảng $(n, 2n),$ tồn tại số nguyên dương $k$ và các phần tử $c_1, c_2,\ldots, c_k$ (không nhất thiết phân biệt) của $S$ sao cho số $\frac{c_1c_2\ldots c_k}{ab}$ là bình phương của một số nguyên.
