Lời giải bài hình đề Hà Nội TST năm học 2024 - 2025

Kì thi chọn đội tuyển HSG TP dự thi kì thi HSG QG cấp THPT của Hà Nội (Hà Nội TST) diễn ra vào hai ngày 11/10/2024 và 12/10/2024, trong đó ở ngày thi thứ nhất có một bài toán hình học khá hay.

Trong bài viết này, chúng ta cùng tìm hiểu lời giải dùng số phức cho ý b. Lời giải này tự nhiên, đơn giản và dễ thực hiện, hoàn toàn có thể sử dụng trong phòng thi.

Trước tiên, ta nhắc lại nội dung bài toán

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB<AC)$ có đường cao $AD.$ Gọi $E$ là một điểm trên cạnh $AB$ ($E$ khác $A$ và $B$). Gọi $X$ là một điểm thay đổi trên tia đối của tia $ED$ và $Y$ là điểm đối xứng với $X$ qua đường thẳng $AD,$ $P$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDX$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDY.$ Chứng minh $P$ nằm trên một đường thẳng cố định.

Phân tích

Vẽ một vài vị trí của điểm $X,$ dự đoán được đường thẳng $DP$ cố định. Gọi $J, K$ lần lượt là tâm của $(BDX)$ và $(CDY),$ khi đó do $DP \perp JK$ nên phương trình của $DP$ trong mặt phẳng phức có dạng $$\frac{z-d}{\overline{z}-\overline{d}}=-\frac{j-k}{\overline{j}-\overline{k}}$$Đến đây, chỉ việc chứng minh $j-k$ không phụ thuộc vào biến $x$ là kết thúc bài toán.

Triển khai ý tưởng

Công việc đầu tiên khi triển khai lời giải là tìm tọa độ phức của $J$ và $K,$ nếu như áp dụng các công thức về tọa độ tâm ngoại tiếp có sẵn thì việc tính toán là rất phức tạp.

Nhận thấy $\triangle BJX$ cân tại $J,$ $\angle BJX=2\angle BDX$ không đổi, đến đây chỉ việc lấy $F$ đối xứng với $E$ qua $BC$ sẽ có $\triangle BJX \backsim \triangle FDE$ (cùng hướng), kéo theo $$\frac{j-b}{x-b}=\frac{d-f}{e-f} \Rightarrow j=\frac{(x-b)(d-f)}{e-f}+b$$Do tính đối xứng nên $\triangle CKY \backsim \triangle EDF$ (cùng hướng), dẫn đến $$\frac{k-c}{y-c}=\frac{d-e}{f-e} \Rightarrow k=\frac{(y-c)(d-e)}{f-e}+c$$Do đó, biến đổi được $$\begin{aligned} j-k&=\frac{(x-b)(d-f)}{e-f}-\frac{(y-c)(d-e)}{f-e}+b-c  \\ & =\frac{(x-b)(d-f)+(y-c)(d-e)}{e-f}+b-c\end{aligned}$$Khai thác tính chất đối xứng, suy ra $\overline{D, F, Y}.$

Do $X$ thuộc tia đối tia $ED$ nên $\frac{x-d}{d-e}$ là số thực âm, $\frac{y-d}{d-f}$ là số thực dương, mặt khác $$\left|\frac{x-d}{d-e}\right|=\frac{DX}{DE}=\frac{DY}{DF}=\left|\frac{y-d}{d-f}\right|$$Kéo theo $\frac{x-d}{d-e}+\frac{y-d}{d-f}=0$ hay $(x-d)(d-f)+(y-d)(d-e)=0,$ suy ra$$x(d-f)+y(d-e)=d(d-f)+d(d-e)$$dẫn đến$$j-k=\frac{(d-b)(d-f)+(d-c)(d-e)}{e-f}+b-c$$Rõ ràng, $d, e, f, b, c$ không phụ thuộc vào $x$ nên $j-k$ không phụ thuộc vào $x.$

Trình bày lời giải

Từ phân tích phía trên, việc trình bày lời giải là đơn giản, xin nhường lại cho bạn đọc!